3.    UKURAN PERUMUSAN DATA

Rataan, median, dan modus, memberikan gambaran pemusatan nilai-nilai dari suatu kumpulan data yang telah diamati. Oleh karena itu, rataan, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan data ata ukuran tendensi sentral.

3.1    Menentukan Rataan

A.     Data Tunggal

Rataan (mean) dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak datum. Dengan demikian,

Secara umum :

Jika suatu data terdiri atas  nilai-nilai x₁, x₂, x₃,…,x_n, maka rataan dari data itu ditentukan dengan rumus berikut.

Keteranga  (dibaca : x bar ) : Rataan dari suatu data

                             n            : banyak datum yang diamati, disebut ukuran data

                                       x_i : nilai datum yang ke-i

notasi ∑ (dibaca : sigma) menyatakan penjumlahan suku-suku

Contoh 4

      Hitunglah rataan dan data 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10.

    Jawab :

      Jumlah nilai datum dan data yang diamati adalah

      =4+5 +6 +7 +8+ 10 + 10 + 10 = 60.

      Banyak nilai datum dan data yang diamati adalah n = 8.

                  

      Jadi, rataan dan data itu adalah  = 7,5.

Contoh 5

Rataan nilai ujian bahasa Indonesia dan 34 orang siswa adalah 49. Jika nilai seorang siswa yang bernama Ali digabungkan dengan kelompok tadi, nilai rataan yang sekarang menjadi 50. Berapakah nilai ujian bahasa Indonesia yang diperoleh Ali?

Jawab:

Rataan nilai ujian bahasa Indonesia dan 34 orang siswa adalah 49. Ungkapan mi dapat ditulis

Misalkan nilai ujian bahasa Indonesia yang diperoleh Ali adalah X_a Setelah nilai ini digabungkan rataannya menjadi 50, sehingga diperoleh persamaan:

Jadi, nilai ujian bahasa Indonesia yang diperoleh Au adalah 84.

B.      Data Kelompok

Rataan data kelompok dapat ditentukan dengan rumus :

Keterangan :

·         f_i menyatakan frekuensi untuk nilai datum x_i

· menyatakan ukuran data

·         Untuk data yang di sajikan dalam bentuk table distribusi frekuensi berkelompok, maka x_i menyatakan titik tengah kelas ke-i dan r menyatakan banyak kelas.

Contoh 6

Tentukan rataan dari data yang disajikan dalam table distribusi frekuensi berkelompok pada table 7

Tabel 7

Jawab :

Berdasarkan Tabel 7 diperoleh  ∑ f_i = 40 dan∑ f_i.x_i = 5.874

Jadi rataan dari data itu adalah :

3.2    Menentukan Median

Median adalah sebuah nilai datum yang berada di tengah-tengah, dengan catatan data telah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai dengan yang terbesar.

Jika nilai-nilai dalam suatu data telah diurutkan, maka median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut :

Contoh 7

Tentukan median dan setiap data berikut ini.

a)       4,5,7,9, 10                              b)      12, 11,7,8,6, 13,9, 10

Jawab:

a)      Nilai-nilai dalam data itu sudah terurut dengan ukuran data n = 5 (ganjil).

Median =  = x3 = 7

Jadi, median dan data itu adalah x3 = 7

Dalam bentuk bagan, median dan data itu dapat ditentukan sebagai berikut.

b)   Nilai-nilai dalam data itu belum terurut. Oleh karena itu, terlebih dahulu diurutkan sebagai berikut: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Ukuran data itu n = 8 (genap).

       Jadi, median dan data itu adalah 9,5. Perhatikan bagan di bawah mi.

Dari contoh 6 tersebut tampak bahwa median membagi dat menjadi dua bagian yang sama banyak.

Median untuk data berkelompok akan dijelaskan pada pembahasan kuartilkedua untuk data berkelompok

3.3   Menentukan Modus

A.     Data Tunggal

Selain rataan dan median dikenal pula ukuran pemusatan data yang lain, yaitu modus. Modus dan suatu data yang disajikan dalam bentuk statistik jajaran

x₁, x₂, x₃, ... , x_n-2, x_n-1, x_n

ditentukan sebagai nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar

Suatu data dapat saja memiliki lebih dan satu modus atau kadang-kadang tidak memiliki modus sama sekali. Hal mi terlihat pada contoh berikut.

Contoh 8

a)      Suatu data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 mempunyai modus 6.

Sebab nilai datum 6 paling sering muncul. yaitu sebanyak 3 kali.

b)      Suatu data 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai modus 7 dan 8.

Sebab nilai datum 7 dan 8 secara bersamaan paling sering muncul, yaitu sebanyak 2 kali.

c)       Suatu data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 13 tidak mempunyai modus.

Sebab data mi tidak mempunyai nilai datum yang paling sering muncul.

Dan Contoh 8 di atas tampak bahwa:

              (i).            ada suatu data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus, mempunyai dua modus disebut bimodus, dan ada pula data yang mempunyai lebih dan dua modus disebut multimodus.

                   (ii).            ada suatu data yang sama sekali tidak mempunyai modus.

Dengan demikian, nilai modus kurang dapat dipercaya sebagai ukuran pemusatan data bagi data yang berukuran kecil. Modus hanya berguna sebagai ukuran pemusatan data untuk data yang mempunyai ukuran besar.

B.      Data Kelompok

Langkah-langkah untuk menentukan modus dan data berkelompok adalah sebagai berikut.

1)    Tentukan kelas modus, yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbesar. Kemudian tentukan tepi bawah dan tepi atas kelas modus tersebut.

2)      Hitung panjang kelas modus.

3)    Hitung selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, dan selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

4)      Hitung modus dengan rumus berikut ini.

Keterangan :

L   : tepi bawah frekuensi kelas modus,

∂₁ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,

∂₂ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, dan

C  : panjang kelas modus

Contoh 9

Dari tabel distribusi frekuensi pada Tabel 8, tentukan nilai modusnya.

Jawab

Dan Tabel 8 dapat ditetapkan:

·         Kelas modusnya 65 — 69 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16), tepi bawahnya L = 64,5 dan tepi atasnya U = 69,5 sehingga panjang kelas c = U—L=69,5—64,5=5.

·         Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya  ∂₁= 16 — 8 8 dan sesudahnya ∂₂ = 16 — 10 = 6.

Jadi, modusnya adalah:

(teliti sampai 2 tempat desimal)