5.    UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran penyebaran atau ukuran dispersi menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu kumpulan data memiliki nilai yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas di sini adalah rentang atau jangkauan, rentang atau jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar-dalam, pagar-luar serta ragam, dan simpangan baku.

5.1 Rentang, Rentang Antarkuartil, Simpangan Kuartil, Langkah, Pagar-Dalam, dan Pagar-Luar

A.     Menentukan Rentang atau Jangkauan

Rentang atau jangkauan (range) merupakan ukuran penyebaran data yang sederhana. Rentang dan suatu data didefinisikan sebagai selisih antara datum terbesar (statistik maksimum) dengan datum terkecil (statistik minimum). Jika rentang itu dilambangkan dengan R, maka R ditentukan oleh:

B.      Menentukan Rentang Antarkuartil

Rentang antarkuartil atau jangkauan antarkuartil didefinisikan sebagai selisih antara kuartil ketiga Q₃ dengan kuartil pertama Q₁. Rentang antarkuartil disebut hamparan (dilambangkan dengan H), maka H ditentukan oleh:

C.      Menentukan Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil dan suatu data didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan. Oleh karena itu, simpangan kuartil disebut juga rentang semi antarkuartil. Jika simpangan kuartil dilambangkan dengan Q_d’ maka Q_d ditentukan oleh:

D.     Menentukan Langkah

Satu langkah didefinisikan sama dengan satu-setengah kali panjang satu hamparan. Langkah dilambangkan dengan L, maka L ditentukan oleh:

E.      Menentukan Pagar-Dalam dan Pagar-Luar

Pagar-dalam didefinisikan sebagai sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama Q₁ dan pagar-luar didefinisikan sebagai sebuah nilai yang letaknya satu Iangkah di atas kuartil ketiga Q₃

Dengan demikian, pagar-dalam dan pagar-luar dan suatu data ditentukan oleh:

dan

Pagar dalam dan pagar luar tersebut digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. Normal atau tidaknya nilai data itu ditetapkan sebagai berikut.

1.       Untuk setiap nilai data x₁ yang terletak di antara batas-batas pagar-dalam dan pagar-luar (Q₁ — L ≤ x_i ≤ Q₃+ L) disebut data normal. Data disebut normal, jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda.

2.       Untuk setiap nilai data x yang kurang dan pagar dalam (x < Q₁— L) atau lebih dan pagar-luar (x > Q₃ + L) merupakan data tak normal. Data yang tak normal mi disebut juga pencilan. Jadi, jelas bahwa data pencilan adalah data yang tidak konsisten dalam kelompoknya.

Gambar 15

Ada beberapa kemungkinan penyebab munculnya data pencilan dalam suatu data, tara lain adalah sebagai berikut.

·         Terjadinya kesalahan ketika mencatat nilai data.

·         Terjadinya kesalahan ketika melakukan pengukuran, kesalahan ketika membaca alat ukur, atau kesalahan ketika menggunakan alat ukur.

·         Bukan salah catat dan bukan salah ukur, tetapi data itu memang diperoleh dan objek yang aneh (anomali) atau menyimpang. Data demikian disebut sebagai data yang berbeda asal.

Nilai-nilai statistik rentang, rentang antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagardalam, serta pagar-luar lebih mudah ditentukan apabila suatu data telah disajikan dengan menggunakan statistik lima-serangkai dalam bentuk bagan.

Contoh 15

Untuk data pada Contoh 11.

a)      Tentukan rentangnya.

b)      Tentukan rentang antarkuartilnya.

c)       Tentukan rentang semi-antarkuartil atau simpangan kuartilnya.

d)      Tentukan langkah, pagar-dalam, dan pagar-luarnya.

e)       Apabila seseorang mengukur berat bola logam pada Contoh 11 dan ia melaporkan bahwa berat bola logam itu 3,5 kg dan 8,1 kg. Apakah kedua nilai datum ini konsisten dalam data yang diperoleh terdahulu?

Jawab:

Statistik lima-serangkai dan data pada Contoh 11 disajikan dalam bentuk bagan pada Gambar  13. Bagan itu disajikan kembali di samping.

Berdasarkan statistik lima-serangkai tersebut, diperoleh:

a)      Rentang R = X_maks — X_min = 7,2 — 5,4 = 1,8.

b)       Rentang antarkuartil atau hamparan H = Q₃— Q₁ = 6,7 — 5,9 = 0,8.

c)        Rentang semi-antarkuartil atau simpangan kuartil Q_d = ½ H =½ (0,8) = 0,4.

d)       • Langkah L = 1 ½ H = 1 ½ (0,8) = 1,2.

• Pagar-dalam = Q₁ — L = 5,9 — 1,2 = 4,7.

• Pagar-luar = Q₃ + L = 6,7 + 1,2 = 7,9.

e)      Oleh karena 3,5 < pagar-dalam dan 8.1 > pagar-luar. maka kedua nilai datum ini tidak konsisten dengan data yang diperoleh terdahulu. Dengan perkataan lain, kedua datum ini merupakan pencilan bagi data terdahulu.

5.2 Ragam dan Simpangan Baku

A.     Data Tunggal

Ukuran penyebaran data yang ada hubungannya dengan nilai rataan dan suatu data adalah ragam dan simpangan baku.

Misalkan X adalah rataan dan data x₁, x₂, x₃, ... , x_n, maka

·         Ragam atau variansi data itu ditentukan oleh

·         Simpangan baku atau deviasi standar data itu ditentukan oleh:

dengan n = ukuran data, x_i = nilai datum yang ke-i, dan X= nilai rataan.

Contoh 16

Tentukan ragam S² dan simpangan baku S untuk data: 10, 44, 56, 62, 65, 72, 76

Jawab:

10        44          56          62          65          72          76, ukuran data n = 7.

Jumlah kuadrat setiap simpangannya:

·         Ragamnya:

·         Simpangan bakunya:

(teliti sampai dua tempat desimal)

Jadi, ragam dan simpangan baku untuk data itu adalab S² = 432,29 dan S = 20,79.

B.      Data Kelompok

Ragam dan suatu data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus:

sedangkan simpangan bakunya ditentukan oleh:

dengan           o) n ==   ukuran data

o) r = menyatakan banyak kelas

 o) Untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas, ƒ₁ menyatakan frekuensi  kelas ke-i,

o) Untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas, x₁ menyatakan titik-tengah kelas ke-i,

Rumus ragam dan simpangan baku untuk data yang dikelompokkan dapat pula dinyatakan

sebagai berikut.

Perhitungan ragam dan simpangan baku untuk data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi, biasanya lebih mudah dilakukan dengan

menggunakan tabel.  Agar lebih jelasnya, simaklah contoh berikut mi.

Contoh 17

Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi berkelompok pada Tabel 11

Nilai rataan hitung untuk data pada Tabel 11 adalah x = 146,85. Selanjutnya untuk menentukan ragam dan simpangan bakunya disusun tabel seperti Tabel  11.

Dari Tabel 11 didapat ∑ ƒ_i = 40 dan∑ ƒ_i (x_i — x )² = 7.379,1

Jadi, ragamnya dan simpangan bakunya

    (teliti sampai dua tempat desimal).

Tabel 11