4.    UKURAN LETAK DATA

Ada dua macam ukuran letak data yang akan dibahas di sini, yaitu kuartil dan desil.

4.1  Menentukan Kuartil

A.     Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran data n > 4, dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 4 bagian yang sama. Ketiga nilai ini disebut kuartil, yakti:

1)      Kuartil pertama (Q₁) mempartisi data menjadi  bagian dan  bagian.

2)      Kuartil kedua (Q₂) mempartisi data menjadi  bagian dari sini tampak bahwa Q₂  tidak lain adalah median

3)      Kuartil ketiga (Q₃) mempartisi data menjadi  bagian dan  bagian.

Gambar 11

Letak atau lokasi dan kuartil pertama Q₁, kuartil kedua Q₂, dan kuartil ketiga Q₃ dari data itu dapat ditunjukkan dengan menggunakan bagan seperti pada Gambar 11

Langkah-Iangkah untuk mencari kuartil adalah:

Langkah 1

Pertama-tama tentukan median atau kuartil kedua Q₂ dengan memakai cara yang pernah diuraikan pada Pasal 3-2.

Lan gkah 2

·         Kuartil pertama Q₁ ditentukan sebagai median semua nilai datum yang kurang dan

·         Kuartil ketiga Q₃ ditentukan sebagai median semua nilai datum yang lebih dan Q₂.

Contoh 10

Tentukan kuartil pertama Q₁, kuartil kedua Q₂, dan kuartil ketiga Q₃ untuk data berikut.

1, 3, 6, 9, 14, 18, 21

Jawab :

Nilai-nilai dalam data sudah berurutan.

x₁                   x₂                  x₃                  x₄                  x₅                  x₆                  x₇

↓                ↓               ↓                ↓              ↓               ↓               ↓          

1                3               6               9             14            18              21

     ↑                                 ↑                               ↑

    Q₁                              Q₂                            Q₃

·         Ukuran data n = 7 (ganjil) sehingga kuartil kedua Q₂=  = x₄ = 9

·         Kuartil pertama Q₁ = x₂ = 3

·         Kuartil ketiga Q₃ = x₆ = 18

Jadi Q₁ = 3,  Q₂= 9, Q₃= 18

Statistik Lima-serangkai

Gambar 12

Statistik ekstrim (statistik minimum X_min dan statistik maksimum X_maks) dan kuartil-kuartil (kuartil pertama Q₁, kuartil kedua Q₂, dan kuartil ketiga Q₃) adalah lima buah nilai statistik yang dapat ditentukan dan statistik jajaran suatu data.

Kelima buah nilai statistik mi disebut sebagai statistik limaserangkai. Statistik lima-serangkai biasanya ditampilkan dalam bentuk bagan seperti diperlihatkan path Gambar 12. Bagan pada Gambar 12 tersebut memperlihatkan bahwa statistik lima-serangkai mencerminkan letak sekaligus pemusatan dan suatu data.

Contoh 11

Hasil pengukuran berat (dalam kg) dan 14 bola logam dengan diameter sama adalah:

7,0   5,6   6,1   7,2   6,9   6,7   5,4   6,0   6,5   5,7   6,2   6,3   5,9   6,6

Tentukan statistik Iima-serangkainya.

Jawab :

                           (i).            Statistik jajaran untuk data itu adalah sebagai berikut:

5,4   5,6   5,7   5,9   6,0   6,1   6,2   6,3   6,5   6,6   6,7   6,9   7,0   7,2

Statistik minimumnya adalah X_min = x₁ = 5,4.

Statistik maksimumnya adalah X_maks = x₁₄ = 7,2.

                          (ii).            Kuartil pertama Q1, kuartil kedua Q2, dan kuartil ketiga Q3 ditentukan sebagai berikut.

  5,4   5,6   5,7   5,9   6,0   6,1   6,2   •   6,3   6,5   6,6   6,7   6,9   7,0   7,2

                                                  ↑                             ↑                               ↑

                   Q₁ = 5,9    Q₂ = ½(6,2+6,3)          Q₃ = 6,7

                                                  Q₂ = 6,25

Gambar 13

Jadi statistik lima serangkainya adalah Xmin= 5,4; Xmaks=7,2; Q₁ = 5,9; Q₂ =6,25; Q₃=6,7. Statistik lima serangkai itu disajikan dalam bentuk bagan seperti pada Gambar 13

B.      Data Kelompok

Nilai Q₁,Q₂ atau median, dan Q₃ dari data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut ini :

dengan                 L₁  = tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama Q₁

                      (∑ƒ)₁  = jumlah frekuennsi sebelum kuartil pertama Q₁

   ƒ₁  = frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama Q₁

dengan                 L₂  = tepi bawah kelas yang memuat kuartil kedua Q₂

                      (∑ƒ)₂  = jumlah frekuennsi sebelum kuartil kedua Q₂

   ƒ₂  = frekuensi kelas yang memuat kuartil kedua Q₂

dengan                 L₃  = tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga Q₃

                      (∑ƒ)₃  = jumlah frekuennsi sebelum kuartil ketiga Q₃

   ƒ₃  = frekuensi kelas yang memuat kuartil ketiga Q₃

Contoh 12

Tentukan nilai kuartil Q₁ pertama , median atau kuartil kedua Q₂, dan kuartil ketiga Q₃ untuk data berkelompok tentang hasil pengukuran (dalam mm) pada Tabel 9 berikut ini.

Tabel 9

Jawab :

Dari table 9 dapat ditetapkan :

                                

Jadi, kuartil pertama adalah :

(teliti sampai satu tempat desimal)

 Jadi median atau kuartil kedua adalah:

    

(teliti sampai dua  tempat desimal)

 Jadi, kuartil ketiga adalah :

(teliti sampai satu tempat desimal)

4.2  Menentukan Desil

A.     Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran data n> 10, dapat ditentukan 9 buah nilai yang  membagi statistik jajaran itu menjadi 10 bagian yang sama. Kesembilan buah nilai itu disebut desil, yaitu:

·         Desil pertama (D₁), mempartisi data menjadi   bagian dan   bagian

·         Desil kedua (D₂), mempartisi data menjadi    bagian dan   bagian

…., demikian seterusnya,

·         Desil kedelapan (D₈), mempartisi data menjadi bagian danbagian

·         Desil kesembilan (D₉), mempartisi data menjadi bagian danbagian

Letak atau lokasi dari desil pertama D₁, desil kedua D₁,…, sampai dengan desil kesembilan D₉, ditunjukkan dengan bagan pada Gambar 14

Gambar 14

Berdasarkan bagan pada Gambar  14 tampak bahwa desil kelima D₅ sama dengan kuartil kedua Q₂ atau median.

Jika suatu data telah dinyatakan dalam bentuk statistic jajaran, maka desil ke-i  ditetapkan terletak pada nilai urutan  yang ke

Dengan i  = 1,2,3, … , 7,8,9 dan n ukura data.

Jika nilai urutan yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung desil diperlukan pendekatan interpolasi linear.

Jika desil terletak pada nilai urutan antara k dan k + 1 dan d adalah bagian desimal nilai urutan tersebut maka nilai desilnya adalah:

Untuk lebih jelas simaklah contoh berikut.

Contoh 13

Diketahui suatu data 2,9   3,5   5,1   5,7   2,1   4,0   4,7   2,5   2,4   5,3   4,8   4,3   2,7   3,4   3,7.

Tentukan desil pertama D₁ dan desil kelima D₅.

Jawab:

Pertama-tama, data itu disajikan dalam bentuk statistik jajaran sebagai berikut.

2,1   2,4   2,5   2,7   2,9   3,4   3,5   3,7   4,0   4,3   4,7   4,8   5,1   5,3   5,7

↑        ↑      ↑      ↑      ↑       ↑      ↑      ↑      ↑      ↑       ↑       ↑       ↑      ↑      ↑

x₁        x₂       x₃     x₄     x₅       x₆      x₇      x₈     x₉     x₁₀    x₁₁     x₁₂     x₁₃     x₁₄    x₁₅

Perhatikan bahwa ukuran data n = 15.

·         Desil pertama D₁ terletak pada nilai urutan yang ke

Oleh karena nilai urutan bukan bilangan ash, maka D1 ditentukan dengan interpolasi linear.

Perhatikan nilai urutan yang besarnya 1,6. Nilai ini terletak antara 1 dan 2 sehingga k = 1 dan k + 1 = 2. Bagian desimalnya d = 0,6.

D_k= X_k+ d(x_k+1— x_k)

D₁= X₁+ d(x₂— x₁)  = 2,1 + 0,6(2,4 — 2,1) = 2,28

Jadi, desil pertama D₁  2,28.

·         Desil kelima D₅ terletak pada nilai urutan yang ke 

OIeh karena nilai urutan untuk D₅ adalah 8 merupakan bilangan asli, maka D₅ tidak perlu interpolasi.

D₅=X₈ = 3,7

Jadi desil kelima D₅ = 3,7

B.      Data Kelompok

Desil dan suatu data yang telah dikelompokkan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini.

dengan                 i = 1,2,3,... ,9

                                      D_i = desil ke-i

              L_i = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i

         (∑ƒ)_i = jumlah frekuensi sebelum desil ke-i

              ƒ_i = frekuensi kelas yang memuat desil ke-i

              n = ukuran data

              c = panjang kelas

Contoh 14

Data tinggi badan dan 100 orang siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi pada Tabel

10a dan tabel distribusi frekuensi kumulatifnya disajikan pada Tabel 10b.

                  Carilah nilai desil keempat D_4.

Tabel 10a                                                    Tabel 10b

                Jawab :